Nel saggio La dottrina dei cicli, contenuto in Storia dell’eternità, Borges sostiene che la teoria degli insiemi di Cantor abbia   confutato   la teoria  dell’Eterno Ritorno   di Nietzsche. Esponiamo qui l’intervento del Dottor Filippo Costantini, il quale si propone – all’interno del ciclo di conferenze riguardante l’infinito tra filosofia e matematica – di analizzare la cogenza del discorso di Borges. Per fare ciò, analizzeremo in primo luogo il discorso di Borges (§1), per poi confrontarci direttamente con la riflessione di Cantor (§3). Per accostarvisi al meglio, tratteremo previamente ciò che Bernard Bolzano, qualche anno prima, ha detto riguardo la possibilità di confrontare fra loro insiemi infiniti (§2).

 

Prima parte: Borges sull’eterno ritorno

Ecco le parole con cui Borges riassume la dottrina nietzschiana dell’Eterno Ritorno:

«Questa dottrina (che il suo più recente inventore chiama dell’Eterno Ritorno) si può formulare così: il numero degli atomi che compongono il mondo è finito benché incommensurabile, e come tale ammette solo un numero finito (benché ugualmente incommensurabile) di variazioni. In un tempo infinito, il numero di variazioni possibili deve venire esaurito, e l’universo deve necessariamente ripetersi» (J.L. Borges, La dottrina dei cicli (1934), in Storia dell’eternità, Adelphi Edizioni, p. 67).

Le premesse implicite del discorso di Borges sembrano essere le seguenti:

  1. l’universo è composto da un numero finito di atomi
  2. il tempo è infinito. Da queste premesse Borges deriva la seguente conclusione: l’universo ritorna eternamente. Finite combinazioni possibili vengono esaurite in un tempo finito, dunque nell’infinità del tempo necessariamente verranno a riproporsi in eterno le medesime combinazioni.Tale ragionamento sembra tuttavia celare due ulteriori premesse:
  3. ogni cosa è un atomo o un composto di atomi;
  4. non c’è fine al rimescolamento degli atomi, vale a dire che il moto non si può interrompere mai. Quest’ultima potrebbe essere una nuova assunzione a tutti gli effetti o venire considerata come una riformulazione della seconda. Ad ogni modo, fatte queste quattro premesse, la conclusione ne deriva correttamente.

Vediamo ciò che Borges dice relativamente al teorema cantoriano che, secondo lui, smentirebbe la dottrina dell’eterno ritorno.

«Cantor distrugge il fondamento della tesi di Nietzsche. Afferma la perfetta infinità del numero di punti dell’universo, e perfino di un metro dell’universo, o di una frazione di tale metro» (idem, p. 69).

E ancora, due pagine più tardi:

«Il confronto del bel gioco di Cantor col bel gioco di Zarathustra è fatale a Zarathustra. Se l’universo consta di un numero infinito di termini, è rigorosamente capace di un numero infinito di combinazioni; e la necessità di un Ritorno viene annullata. Ne rimane la semplice possibilità che equivale allo zero» (idem, p. 71).

Cantor avrebbe dimostrato la falsità della prima premessa tramite un teorema secondo cui vi è lo stesso numero di punti in un segmento, una retta, un quadrato, un cubo e in generale in ogni figura geometrica di n-dimensioni (con n finito o, se infinito, numerabile). Vedremo la dimostrazione di questo teorema nella terza parte, ma prima faremo ricorso anche ad alcune fra le più interessanti riflessioni che, qualche anno innanzi rispetto a Cantor, Bernard Bolzano aveva compiuto a proposito della legittimità di confrontare fra loro differenti insiemi infiniti.

 

Seconda parte: Bolzano sull’infinito

Bolzano caratterizza la nozione di insieme nel modo seguente:

«Un aggregato che facciamo dipendere da un concetto tale da rendere indifferente la disposizione dei suoi membri (la cui permutazione, quindi, non produce alcun cambiamento essenziale dal punto di vista corrente), lo chiamerò insieme». (B. Bolzano, Paradossi dell’infinito, §4).

Ciò significa che un insieme è una qualunque collezione in cui è indifferente l’ordine dei suoi elementi.

«Chiamerò moltitudine infinita una moltitudine che è più grande di tutte quelle finite, cioè una moltitudine costituita in modo tale che ogni insieme finito rappresenti soltanto una parte di essa». (idem, §9).

L’infinito di cui parla Bolzano è evidentemente un infinito quantitativo e per lui questa caratterizzazione dell’infinito è l’unica propria.

Una dimostrazione dell’esistenza di insiemi infiniti è la seguente. Consideriamo una proposizione vera A: «ci sono verità». Poi consideriamo la proposizione B: «A è vera». Tale proposizione risulta a sua volta vera e possiamo reiterare tale processo all’infinito, considerando la proposizione C che asserisce la verità di B etc. (cfr. idem, § 13). L’aggregato di tutte queste proposizioni vere è infinito e inoltre, tramite un procedimento simile, è possibile stabilire che i numeri naturali sono infiniti, reiterando l’operazione di successione ad indefinitum.

Bolzano infatti asserisce:

«L’insieme di tutte le verità in sé è infinito. In modo analogo si potrà ammettere, in base agli argomenti del §. 13, che l’insieme di tutti i numeri è infinito» (idem, §9).

Questo argomento è in realtà molto antico e rimanda addirittura ad Aristotele:

«Colui che dice che una proposizione è vera afferma un’altra proposizione vera e così all’infinito» (Metafisica, 1012b 18-23).

La differenza fra la concezione dei due autori è tuttavia radicale: per Aristotele l’infinito è solo potenziale, mentre per Bolzano è attuale. Per Aristotele tale ragionamento mostra solo che a partire da alcune proposizioni è sempre possibile trovarne altre; per Bolzano l’insieme di tutte le proposizioni è un insieme infinito in atto. Bolzano si pone il problema di confrontare fra loro insiemi. Il metodo per effettuare tale confronto è quello di cercare di stabilire una corrispondenza biunivoca per quanto Bolzano non utilizzasse questo termine , vale a dire far corrispondere a ciascun elemento del primo insieme uno ed un solo elemento del secondo e, viceversa, far corrispondere ad ogni elemento del secondo uno ed un solo elemento del primo. Si possono verificare tre casi differenti:

  1. Confrontare molteplicità finite: l’esempio riportato dall’autore è quello della corrispondenza biunivoca fra corpi umani ed anime umane, ove la corrispondenza è biunivoca.
  2. Confronto di un insieme infinito con uno finito: il primo è evidentemente più grande del secondo, quindi non vi può essere corrispondenza biunivoca.
  3. Confronto tra insiemi infiniti: si delineano due sottocasi: 3.1. È possibile determinare in maniera esatta il rapporto di grandezza fra molteplicità infinite. Due esempi riportati dall’autore sono quelli della corrispondenza biunivoca fra circonferenze e superfici circolari, nonché quello del rapporto uno a due che intercorre fra le ellissi e i fuochi delle ellissi. 3.2. Ci si può altrimenti scontrare con il paradosso di Galileo. Consideriamo i numeri naturali e i numeri quadrati. I naturali sono più dei quadrati, tuttavia è possibile costituire una corrispondenza biunivoca fra i numeri naturali e i quadrati, che sembrano dunque essere di egual numero.
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Secondo Bolzano, questi risultati paradossali mostrerebbero che nel confronto fra collezioni infinite, la corrispondenza biunivoca non può essere un metodo utilizzabile: se il tutto e la parte sono entrambi insiemi infiniti, quell’insieme infinito che costituisce il tutto deve essere più grande dell’insieme infinito che costituisce la parte, essendo il tutto sempre maggiore della parte.

Bolzano aggiunge che in ogni insieme infinito è sempre possibile costituire una corrispondenza biunivoca fra l’insieme e almeno un suo sottoinsieme (cfr. idem, § 20). Una ventina di anni dopo Dedekind, poi ripreso da Cantor, proporrà questa come definizione dell’insieme infinito.

Bolzano vuole dare una teoria consistente dell’infinito, che egli chiama calcolo dell’infinito. Nel compiere tale impresa si scontra tuttavia con una difficoltà insanabile: egli utilizza allo stesso tempo il principio della corrispondenza biunivoca e il postulato euclideo secondo cui il tutto è sempre maggiore della parte. Nei casi in cui vi è contraddizione Bolzano predilige quest’ultimo, come abbiamo appena visto. Cantor risolverà il problema ritenendo invece valido solo il primo criterio.

 

Terza parte: Cantor sull’infinito

«Per giungere a una vera concettualizzazione dei numeri infiniti determinati mancano all’autore [Bolzano] sia il concetto generale di potenza, sia una nozione precisa di enumerazione. È vero che in alcuni passi possiamo trovare, sotto forma di casi particolari, gli embrioni dell’uno e dell’altra, ma a mio avviso l’autore non li porta a estrema chiarezza, ed è così che si spiegano molte incongruenze (e perfino alcuni errori) della sua opera peraltro pregevole» (G. Cantor, Sulle molteplicità infinite lineari di punti, n° 5, p. 180 delle Gesammelte Abhandlungen).

Cantor legge Bolzano quando ha già sviluppato la maggior parte del suo lavoro, nonostante la quantità di similitudini farebbero pensare ad un’ispirazione diretta. Secondo Cantor, a Bolzano tuttavia mancano, o meglio non sono esplicitati, due concetti fondamentali. Il primo è quello di potenza chiamato anche numero cardinale o cardinalità , che denota la quantità di elementi di un insieme. Per confrontare cardinalità si cercherà di stabilire una corrispondenza biunivoca. Il secondo concetto è quello di enumerazione chiamato anche numero ordinale o ordinalità , il quale è il tipo d’ordine degli elementi di un insieme ben ordinato. Il numero ordinale ci dice quanto è lungo il buon ordinamento di un insieme. Negli insiemi finiti ordinalità e cardinalità coincidono, ciò non avviene tuttavia quando abbiamo a che fare con gli insiemi infiniti.

I numeri naturali sono ben ordinati. Infatti, sono disposti in un elenco che va da 0 ad infinito in ordine crescente e possiamo immaginarli come disposti in una stringa di lunghezza indefinita l’uno di seguito all’altro. Ogni qual volta che è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra elementi di un insieme infinito e i numeri naturali, tale insieme infinito sarà detto numerabile. Cantor ottiene alcuni risultati interessanti riguardo la numerabilità di determinati insiemi numerici:

  • La cardinalità dei numeri naturali è la stessa dei numeri quadrati e dunque l’insieme dei quadrati è numerabile. È infatti possibile creare una corrispondenza biunivoca fra naturali e quadrati, come abbiamo visto in precedenza. Lo stesso processo è effettuabile con i numeri pari, i numeri dispari etc.
  • Anche i numeri interi sono numerabili, infatti è possibile creare una corrispondenza biunivoca con i numeri naturali. Disponiamoli in un elenco nel modo seguente:

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 5, -5…

Ora è possibile creare una corrispondenza biunivoca fra gli elementi dell’insieme ℕ dei numeri naturali e l’insieme ℤ dei numeri interi.

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  • I numeri razionali richiedono uno sforzo maggiore per dimostrare la loro numerabilità. L’insieme dei numeri razionali è denso, vale a dire che fra frazioni qualsiasi vi è sempre una terza frazione di mezzo. Cantor dimostra tuttavia che la densità non è una discriminante per quanto riguarda la cardinalità. Disponiamo un elenco di frazioni con numeratore crescente e denominatore 1 nella prima riga, nella terza riga disponiamo gli stessi numeratori, questa volta con denominatore 2, nella quinta riga gli stessi numeratori con denominatore 3 e via così all’infinito. Nelle righe pari disporremmo gli stessi numeri della riga precedente, ma con segno negativo. Otteniamo in questo modo la totalità dei numeri razionali. Muovendosi come indicato dalle frecce nella rappresentazione sottostante abbiamo la certezza di considerare la totalità dei razionali.

Possiamo così disporre i numeri razionali in un elenco e porli in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, così come abbiamo fatto nei casi precedenti. Ogniqualvolta ci imbatteremo in un numero che abbiamo già incontrato, lo scarteremo – 1/2 per esempio  è uguale a  2/4 –.

  • Il ragionamento valido nei casi precedenti non è tuttavia valido nel caso dei numeri reali. L’argomento, detto obliquo, è una reductio ad absurdum: si dimostrerà che all’interno di ogni intervallo di una successione infinita di numeri reali è sempre possibile trovare un numero che non appartiene ad essa. Ci basti considerare l’intervallo da 0 a 1, in quanto, essendo un sottoinsieme dei numeri reali, se esso non risulta numerabile, a fortiori l’insieme dei reali non potrà essere numerabile. Ogni numero avrà la forma:

x1= 0,a1b1c1

x2= 0,a2b2c2

x3= 0,a3b3c3

……………….

Vogliamo trovare un numero che non si trovi in questa lista. Prendiamo 0,αβγ… con α ≠ a1 in modo tale che differisca dal primo numero per almeno una cifra, β≠ b2 in modo tale che differisca dal secondo numero per almeno una cifra, γ≠ c3, in modo tale che differisca dal terzo numero per almeno una cifra e avanti così all’infinito. Il nuovo numero differisce per almeno una cifra da ogni altro nell’elenco e dunque non può già essere contenuto in esso. Si potrebbe cercare di contrastare l’argomento dicendo che una volta aggiunto tale nuovo numero alla lista avremmo ottenuto la totalità dei reali. Tuttavia, tale procedimento non è efficace in quanto anche dopo l’aggiunta di tale elemento si potrebbe replicare l’argomento obliquo e trovare così un ulteriore numero non presente nella lista precedente. Possiamo aggiungere all’elenco anche quest’ultimo numero, ma l’argomento sarà nuovamente replicabile e così all’infinito.

Vale la pena soffermarci per un istante, senza dimostrarlo, sul cosiddetto teorema di Cantor, che è una sorta di generalizzazione di quest’ultimo risultato: dato un insieme A finito, sia P(A) l’insieme di tutti i sottoinsiemi di A, detto insieme potenza di A. La cardinalità di P(A) è strettamente maggiore della cardinalità di A.

Il teorema ci permette di trovare sempre, dato un certo insieme, un insieme più comprensivo. L’operazione può poi essere reiterata, permettendo di trovare infiniti più grandi di altri infiniti ad infinitum. Il problema sorge se si applica tale teorema ad un supposto insieme universo, vale a dire l’insieme che contiene tutti gli insiemi.

Trattiamo ora il teorema cantoriano a cui Borges si riferisce: la cardinalità degli insiemi di punti di figure geometriche a n-dimensioni (con n finito o, se infinito, numerabile) è la stessa.

Analizziamo ora l’idea alla base della dimostrazione. Prendiamo un segmento di lunghezza 1 e un quadrato di lato 1 sugli assi cartesiani: vogliamo creare una corrispondenza biunivoca fra i punti del segmento e quelli della superficie del quadrato. Per fare ciò, sfruttiamo il teorema di Cantor-Bernstein-Schröder: se si hanno due insiemi A e B e si riesce a costruire una funzione iniettiva da A in B e un’altra da B in A, possiamo concludere una corrispondenza biunivoca e dunque la cardinalità dei due insiemi è la medesima. Una funzione è iniettiva da A in B se ad ogni elemento di A corrisponde uno ed un solo elemento di B. Non sappiamo tuttavia se in B vi siano elementi che non sono immagine di alcun elemento di A. Se si ha una funzione iniettiva da A in B, A avrà cardinalità minore o uguale a B; se si ha invece una funzione iniettiva da B in A, B avrà cardinalità minore o uguale ad A. L’unica situazione che soddisfi entrambe queste condizioni è che A abbia la stessa cardinalità di B. Se dimostriamo che vi è una corrispondenza iniettiva tra i punti del segmento e quelli della superficie e, viceversa, un’altra corrispondenza iniettiva tra i punti della superficie e quelli del segmento, abbiamo dimostrato che fra essi vi è corrispondenza biunivoca. Ogni punto può essere associato ad una coppia di numeri reali che corrisponde alla sua posizione nel piano cartesiano. I punti del segmento avranno coordinata (a,0), (b,0), (c,0)…, giacendo tutti sull’asse delle ordinate. I punti del quadrato avranno invece coordinate quali ad esempio (a,c), (z,f)…, dove le costanti alfabetiche corrispondono tutte a numeri reali.

Prendiamo un punto (a,0) del segmento e facciamolo corrispondere al punto (a,a) della superficie, prendiamo (b,0) e facciamolo corrispondere a (b,b), prendiamo (c,0) e facciamolo corrispondere a (c,c) etc. Questo processo ci permette di prendere tutti i punti del segmento e farli corrispondere a punti diversi del quadrato. Siamo dunque dinnanzi ad una corrispondenza iniettiva e sappiamo così che la cardinalità dell’insieme dei punti del segmento è minore o uguale a quella dell’insieme dei punti della superficie del quadrato.

Prendiamo ora due punti della superficie de quadrato ad esempio (c,d) e (z,f), i quali devono essere fatti corrispondere a punti diversi del segmento. (c,d) = (0,c1c2c3c4…, 0,d1d2d3d4…) sarà fatto corrispondere al punto (0,c1d1c2d2c3d3c4d4…, 0) del segmento. (z,f) = (0,z1z2z3z4…, 0,f1f2f3f4…) sarà fatto invece corrispondere a (0,z1f1z2f2z3f3z4f4…, 0). La funzione è iniettiva in quanto prendiamo tutti i punti del quadrato e in quanto, date due coppie differenti (0,c1c2c3c4…, 0,d1d2d3d4…) ≠ (0,z1z2z3z4…, 0,f1f2f3f4…), anche le loro immagini saranno differenti. Anche in questo caso abbiamo dunque a che fare con una corrispondenza iniettiva e la cardinalità dell’insieme dei punti della superficie del quadrato sarà così minore o uguale a quella dell’insieme dei punti del segmento.

Avendo dimostrato l’esistenza di una corrispondenza iniettiva in entrambi i versi, possiamo concludere, grazie al teorema di Cantor-Bernstein-Schröder, l’esistenza di una corrispondenza biunivoca. Dobbiamo così concludere che l’intuizione naturale che vi siano più punti in un segmento che in un quadrato sia in realtà falsa.

 

Conclusione

Ora che abbiamo analizzato l’argomento di Cantor, possiamo tornare con cognizione di causa sull’argomento di Borges. Egli sostiene che il teorema appena dimostrato confuta la prima premessa dell’argomento a favore dell’eterno ritorno, vale a dire che il numero degli atomi dell’universo sia finito.  Tuttavia, tale premessa parla di atomi, che per quanto di estensione minima sono pur sempre dotati di una qualche estensione; il teorema parla invece di punti inestesi. L’unico modo per rendere cogente il discorso di Borges sarebbe quello di dimostrare che gli atomi sono inestesi. Dobbiamo tuttavia domandarci di che tipo di ipotesi si tratta. Un’ipotesi empirica andrebbe confermata o smentita da parte della scienza fisica. Se l’ipotesi fosse invece di carattere metafisico, dovremmo ricercare una qualche sorta di argomento a priori. Lasciando queste questioni aperte, vale la pena di riflettere sul fatto che forse vi è un errore categoriale a monte nel ragionamento di Borges, il quale avrebbe scambiato una caratteristica di un modello matematico con una caratteristica della realtà stessa.

Per approfondire il tema trattato in questa conferenza indichiamo il testo del Dottor Costantini Pensare l’Infinito. Filosofia e Matematica dell’Infinito in Bernard Bolzano e Georg Cantor, vincitore del Premio Nazionale di Filosofia 2018 nella sezione “Saggio filosofico inedito”.

Niccolò Rossi

 

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