L’intervento di Gianfranco Basti, professore presso la Pontificia Università Lateranense, è stato il primo di una serie di incontri dedicati alla nozione filosofica e matematica di infinito. Tale concetto, infatti, nella sua configurazione storica, è sempre stato inteso in due modi distinti e ben precisi: da un lato, positivamente, come determinatezza o attualità, dall’altro, negativamente, ovvero, come indeterminatezza o potenzialità. Queste nozioni base di infinito – con tutte le annesse nozioni intermedie – si applicano sia in ambito logico-matematico che fisico-metafisico.

 

L’Infinito: dai greci al medioevo

L’esposizione è cominciata a partire da una breve introduzione alla concezione greca dell’infinito, caratterizzata dall’horror infiniti, ovvero dalla repulsione e dal timore di tutto ciò che è illimitato e indefinito. Il percorso prende le mosse, infatti dalle riflessioni dei presocratici, di Pitagora, di Eraclito e di Parmenide, per culminare nelle due concezioni principali della grecità, quella platonica e quella aristotelica. Platone, così come anche Aristotele e Democrito, cercarono di affrontare i paradossi derivanti dalla concezione onto-logica di Parmenide. Quest’ultimo aveva predicato l’unità di pensiero ed essere, senza tuttavia avvedersi che, in realtà, l’essere può essere detto in molti modi. Inoltre, la riflessione parmenidea attribuiva all’essere unicità, identità e immobilità, incontrando, così, molte difficoltà: la molteplicità, le differenze e il divenire venivano esclusi e definiti come illusori. In ogni caso, il vero e proprio superamento dell’horror infiniti arrivò con Eudosso di Cnido, il quale, mediante l’estensione della reduction ad absurdum platonica alla matematica, elaborò il metodo dell’esaustione – aprendo così la strada all’algebra e allo studio degli infinitesimi.

Un ulteriore passo successivo nello studio filosofico e matematico della nozione di infinito fa capo alle opere di Tommaso d’Aquino, filosofo e teologo scolastico. Le riflessioni sull’infinito, in questo caso, avvennero per esigenze teologiche e, infatti, nel momento in cui lo stesso Tommaso d’Aquino stava cercando di fornire una spiegazione plausibile e razionale della creazione e del rapporto creatore-creato, distinse tre differenti tipologie di infinito. La differenziazione venne proposta in Quodlibetales IX, 1 ed è la seguente:

  1. Infinito potenziale o ‘infinito privativo’ come successione finita, sempre e comunque incrementabile, e dunque ‘privata’ della sua terminazione. 
  2. Infinito attuale relativo o ‘secundum quid’, ovvero quell’infinito di cui non e’ contraddittorio pensarlo come attualmente infinito (actu infinitus) p.es., totalita’ dei numeri interi positivi, la linea retta, etc. secondo una sua specifica modalita’ di essere. Questo tipo di infinito, chiaramente, apre la possibilità a diversi ordini di infinita’ attuali relativi.
  3. Infinito attuale assoluto o ‘simpliciter’ che e’ solo Dio.

La particolarità – stando alla ricostruzione proposta dal prof. Basti – è che vi è una sottile distinzione terminologica tra due ordini di infinito: secondo Tommaso è da distinguersi l’infinitus in actu, inteso come la nozione contraddittoria di infinito in atto, e cioè come completa attualizzazione di un infinito in potenza, dall’actu infinitu – ovvero dall’infinito ‘attuale relativo’ (o secundum quid). La differenza è che il primo implica la contraddittorieta’ della sua ‘terminazione’ per definizione – l’illimitato non può avere termine in senso assoluto, bensì solo in senso relativo e ciò significa che solo un infinito di un determinato tipo (per esempio, quello che rappresenta i numeri reali), cioè secondo una specifica modalità d’essere, può giungere ad un termine.

 

La concezione in età moderna

In seguito, il concetto di infinito ha subito un notevole sviluppo grazie agli studi di carattere matematico di Cartesio, Leibniz e Newton.

Alla concezione leibniziana dell’infinito è stato dedicato il secondo seminario organizzato dal Logos. Qua trovi la presentazione del prof. De Risi.

L’algebrizzazione della geometria, per esempio fu un merito di Descartes,mentre l’invenzione del calcolo fu una conseguenza degli studi di Leibniz e di Newton. Uno dei principali lavori fu la risoluzione del problema della quadrature delle curve mediante il metodo della derivata, che portò con sé molte conseguenze di carattere anche fisico-scientifico (per es., la meccanica ‘statica’ di Laplace oppure la meccanica ‘a due corpi’ di Newton).

Ciò a cui le acquisizioni moderne condussero fu una situazione particolare nella quale matematici e filosofi cercarono di dare una determinata sistematicità a tutte le branche della matematica, cercando una teoria generale a cui ricondurle. Si cercava, in definitiva, di stabilire quali fossero i fondamenti certi e stabili della matematica, fornendo risposte alle tre seguenti questioni fondamentali:

  1. La necessita’ di individuare un appropriato metalinguaggio simbolico interno alla matematica per dimostrare la consistenza (l’assenza di contraddizioni) della matematica stessa dopo la scoperta delle geometrie non-euclidee e quindi del carattere ipotetico e non più apodittico delle scienze matematiche (Riemann, Hilbert, ma soprattutto Gödel).
  2. La questione della fondazione del continuo matematico per dare una consistenza defintiva all’assiomatizzazione (nota: L’assiomatizzazione di un concetto è quel processo per cui si vincola e regola il comportamento di una determinata nozione mediante assiomi, ovvero mediante regole primitive del sistema)  del concetto di limite di una funzione dopo i lavori fondamentali di Cauchy e Weierstrass.
  3. La questione della collezione dei numeri reali (come unione di naturali, razionali, irrazionali, e trascendenti), della loro enumerabilità e della loro relazione col continuo geometrico.

 

Cantor e l’argomento diagonale

Il passo fondamentale per giungere ad un’adeguata assiomatizzazione e comprensione del concetto di infinito si inserisce in questo filone di ricerca e ricade all’interno della celebre teoria logico-matematica degli insiemi elaborata da Georg Cantor. Il carattere della teoria cantoriana è intrinsecamente platonico: vi era la necessita’ di giustificare l’infinita’ attuale, per dare consistenza assoluta e definitiva al calcolo. Non a caso, infatti, il matematico espresse questa sua idea scrivendo

«Non vi è dubbio che noi non possiamo fare a meno di quantità variabili nel senso dell’infinito potenziale; e da questo può essere dimostrata la necessità dell’infinito attuale. Affinché vi sia una quantità variabile in una teoria matematica, il «dominio» della sua variabilità dev’essere strettamente parlando conosciuto in anticipo attraverso una definizione. Comunque, questo dominio non deve essere a sua volta qualcosa di variabile, altrimenti qualsiasi base fondata per lo studio della matematica verrebbe meno. Quindi questo dominio e’ un insieme di valori definito, attualmente infinito» (Cantor, 1886, 9).

Infatti, mediante la presentazione del celebre teorema di Cantor e del metodo della ‘diagonale, il prof. Basti ha enumerato la suddivisione dell’infinito operata dal matematico tedesco, mostrandone limiti e fortune. Il celebre metodo della ‘diagonale’ è in grado di fornire una dimostrazione della numerabilità (corrispondenza biunivoca con l’insieme dei naturali), dei razionali, e della non numerabilità dei reali. Da un punto di vista maggiormente filosofico, invece, un’interessante particolarità riguarda, soprattutto, la vicinanza della teoria cantoriana con la teoria tomista. In particolare, i tre generi d’infinito, postulati da Cantor, sono:

  1. Infinito in potenza, indeterminato e incrementabile;
  2. Infinito transfinito, determinato e incrementabile;
  3. Infinito assoluto, determinato e non incrementabile.

La distinzione tomista tra actu infinitu e infinitus in actu, per cui quest’ultimo rappresentando l’attualizzazione di una potenzialità illimitata, è intrinsecamente contraddittorio, viene accolta dalla teoria cantoriana e, infatti, l’infinito attuale relativo (oppure ‘secundum quid’), viene incluso e denominato infinito transfinito.

Il seminario si è chiuso mediante una rassegna dei principali sviluppi a cui, a partire dalla teoria di Cantor, si è pervenuti nel corso del XIX e XX secolo. In particolare, si è rimarcato come, dalla teoria degli insiemi di Cantor, sia possibile costruire una ‘gerarchia’ di infiniti, e fornire risposte sempre più adeguate e plausibili alla domanda ‘che cos’è l’infinito?’.

Per approfondire, ecco alcune dispense del professor Basti.

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