Il seminario tenuto dal Professor De Risi prende in esame alcuni aspetti delle concezioni leibniziane dell’infinito.

Il punto di partenza sarà la teoria matematica delle grandezze infinite e infinitesime, che sarà considerata in relazione agli sviluppi della matematica del Seicento e allo sviluppo del pensiero leibniziano, dagli anni giovanili fino alla presentazione più matura del calcolo infinitesimale.

 

La matematica di Leibniz

La matematica nell’epoca moderna

Il tema dell’infinito non era trattato nella matematica classica; dopo il rinascimento, però, alcuni testi antichi attirarono l’attenzione dei matematici, in particolar modo le opere di Apollonio e Archimede. Questi testi, molto complicati, provocarono notevoli difficoltà e nuove problematiche per i pensatori dell’epoca. Il superamento della concezione greca della matematica avverrà anche e soprattutto grazie alle discussioni filosofiche che entrarono in merito a certe tematiche, prima tra tutte quella sull’infinito. Proprio il tema dell’infinito si configurò come una svolta rispetto al mondo antico, dove era assente, diventando centrale anche nel pensiero di Leibniz.

Possiamo ricostruire a grandi linee lo statuto dell’arte della matematica dell’epoca, discutendo alcune alcune tematiche fondamentali:

  1. numeri irrazionali (ossia quelli con sviluppo decimale infinito) venivano considerati numeri veri e propri – in contrasto con il pensiero antico -, e per questo motivo la sfida dei matematici dell’epoca moderna era quella di riuscire a trattarli con metodi finitari. Questi numeri venivano spesso espressi attraverso le serie numeriche, alcune delle quali avevano la proprietà di essere “convergenti”: se sommiamo tra loro un numero infinito di termini decrescenti, la loro somma convergerà verso il valore 1. Il primo matematico a fornire una dimostrazione adeguata di questo fu il gesuita Gregorio di Saint Vincent.
  2. La matematica era all’epoca strettamente collegata alla geometria, e questo portava i matematici ad elaborare modi geometrici per rappresentare concetti che implicano l’uso dell’infinito, come ad esempio le serie di cui si discuteva sopra.
  3. Altro grande filone delle discussioni intercettato da considerazioni sull’infinito è la teoria degli indivisibili, che si collega al problema del continuo: studiando il rapporto tra figure di estensione infinita e figure di estensione finita, ci si pongono questioni come: è possibile che la retta sia costituita di una serie di punti? Se sì, come? Fino all’epoca moderna non erano stati forniti argomenti convincenti a soluzione di tali quesiti, poi arrivarono i lavori del matematico italiano Cavalieri, allievo di Galileo. Egli riuscì, grazie all’uso del concetto di infinitesimale, a fornire uno strumento per calcolare le aree di figure geometriche che fino a quel momento costituivano un problema per ogni matematico: iniziò calcolando l’area dell’ellissi per poi applicare il medesimo metodo anche ad altre figure.

Galileo, dal canto suo, discuteva la teoria del continuo in modo molto scettico, in quanto aveva riscontrato alcuni paradossi. Egli si era accorto che trattando gli insiemi infiniti, era possibile creare una corrispondenza biunivoca tra un insieme e una sua parte; di conseguenza veniva a cadere l’assioma euclideo per cui il tutto è maggiore della parte, rendendo così impossibile parlare di “maggiore” o “minore” trattando con queste grandezze.

 

La matematica e la fisica nell’epoca moderna

I metodi architettati per lo studio degli indivisibili, e quindi di conseguenza anche la tematica del continuo, entrarono a pieno diritto anche nelle discussioni sulla filosofia naturale. La questione dominante riguardava la materia: essa può essere divisa in infinite parti oppure avremo dei minimi (ossia dei punti non ulteriormente divisibili)? Esiste il vuoto? come giustifichiamo il moto?

Chiunque ammettesse l’esistenza del vuoto e degli atomi non riscontrava problemi nella comprensione del moto, in compenso era molto difficile sostenere una posizione pienista (il vuoto non esiste) e nel contempo spiegare il moto dei corpi e dell’universo.

 

Il pensiero matematico di Leibniz

Le tematiche appena discusse influenzarono molto il pensiero di Leibniz, egli riprenderà Cavalieri, discuterà il pensiero di Galileo e anche quello di Gregorio di Saint Vincent.

Molto importante per filosofo fu il soggiorno parigino (1646 – 1716), dove venne a contatto con i grandi pensatori dell’epoca, ma soprattutto iniziò ad elaborare e portare a compimento la sua teoria degli infinitesimali.

Possiamo riconoscere due fasi distinte: un’iniziale fase giovanile nella quale riprende gli indivisibili di Cavalieri, reinterpretandoli non come minimi (cose delle quali non possiamo trovare nulla di più piccolo) ma piuttosto come inestesi, ossia come oggetti che possiedono parti pur rimanendo inestese, preservando il rapporto tra maggiore e minore – salvando il principio euclideo della parte e del tutto. La teoria doveva servire per spiegare la composizione del continuo, ma il giovane filosofo fu costretto ad abbandonarla.

In secondo luogo, abbiamo la fase matura nella quale egli inizia ad elaborare una teoria, che sarà poi quella definitiva. Rigettando le considerazioni precedenti, Leibniz riprende i lavori fatti sulle serie da Gregorio di Saint Vincent. La caratteristica centrale delle serie è la somma di termini decrescenti, ossia diversi tra loro, in questo modo è possibile ricostruire il continuo a partire da parti finite.

Venivano però avanzate obiezioni sulla possibilità di introdurre in matematica il concetto di infinito, secondo Leibniz, però, i problemi che emergevano erano dovuti al fatto che si intendesse l’infinito come un tutto esistente. Non esistono né oggetti infinitamente grandi né oggetti infinitamente piccoli. Dobbiamo trattare questo concetto come una finzione, utile agli scopi del calcolo e della matematica. Tuttavia, egli pensava che si potesse parlare di infinito in senso distributivo piuttosto che collettivo, ossia si impegnava ad ammettere l’esistenza di infiniti numeri finiti, ma non di una collezione attuale di essi. L’infinito che egli aveva in mente era dunque etichettabile come infinito attuale sincategorematico. In questo modo pensava di poter parlare del rapporto di maggiore e minore anche in collezioni infinite e di poter salvare il principio euclideo della parte e del tutto. Ma come possiamo pensare il continuo sulla base di queste considerazioni?

Sembrerebbe che Leibniz stia tornando alla tesi aristotelica dell’infinito potenziale, di cui abbiamo già parlato, ma non è così: il continuo è attualmente diviso, e i numeri sono attualmente infiniti, ma non si impegna mai a sostenere che ciò implichi l’esistenza di una totalità. Leibniz è un platonista, tutti gli oggetti esistono già e hanno determinate proprietà. Il continuo è pertanto composto attualmente di infinite parti, ma non va mai considerato come un tutto infinito.

 

La filosofia di Leibniz

La tesi dell’infinito attuale sincategorematico si riflette non solo nella matematica, ma anche nella filosofia di Leibniz: nella teoria sulla infinita divisibilità della materia, sull’esistenza di infinite sostanze, sulla complessità di queste e sulla loro definizione per portare infine ad alcune questioni relative alla contingenza e al libero arbitrio.

Leibniz diviene, nel periodo maturo, un pienista, rigettando la presenza del vuoto nell’universo. La materia è infinitamente divisibile, ed è costituita di infinite parti attuali. L’atomismo, nel suo senso più proprio, viene rigettato: la materia, essendo attualmente divisa, non è scomponibile in tutte le divisioni possibili, ed è per questo che nell’universo esistono oggetti scomponibili ed altri non scomponibili.

Da un punto di vista metafisico, dunque, esiste un principio che regola le parti divise, in quanto attuali e non potenziali. Queste sono chiamate sostanze corporee, e per il semplice fatto che si distinguono le une dalle altre sono considerate individui, ossia possiedono un’identità. In questo senso; il semplice fatto che esse siano divisibili non compromette la loro essenza e permette loro di preservare identità nel tempo.

L’universo, per come lo pensa Leibniz, è composto da una seria infinita discendente di atomi via via sempre più piccoli, inscatolati l’uno nell’altro, e le sue divisioni non possono essere operate in modo arbitrario, in quanto la materia è divisa attualmente ed ogni sua proprietà è già effettivamente presente in essa.

La conseguenza diretta e più interessante che scaturisce da ciò è che esistono un numero infinito di sostanze, le quali sono considerate complesse in due sensi: in primo luogo perché ognuna di esse comunica con tutte le altre infinite sostanze, è aperta ad esse e le pensa; dall’altro lato si dice complessa perché il suo stesso pensiero è infinito.

Le ricadute epistemologiche di queste teorie sulla sostanza e sulla materia mettono Leibniz in forte contrasto con la tradizione precedente. Le sostanze sono infinite e tutte in rapporto tra loro, ma sono infinite anche nel modo in cui sono composte, pertanto per descriverle completamente avremo bisogno di un concetto infinito, e quindi di infinite relazioni e proprietà.

La descrizione completa di una sostanza è definita nozione completa, e apre le porte per la discussione su un altro tema centrale della filosofia di Leibniz: contingenza e libertà. Sembrerebbe infatti che le considerazioni sulla divisione attuale in parti della sostanza conducano al determinismo. Leibniz credeva invece che alcune proprietà fossero contingenti e non necessarie, in virtù del fatto che nella nozione completa di un oggetto, non fosse sempre possibile dedurre una proprietà in una serie finita di passi. Possiamo fare un esempio: era necessario che Cesare passasse il Rubicone? “aver passato il Rubicone” è una parte attualmente presente nella definizione completa di Cesare, ma non è detto che da quest’ultima si sia in grado di dedurre questa proprietà in un numero finito di passi; a tal proposito Leibniz parla di contingenza, e sostiene che nemmeno Dio è in grado di attraversare una procedura di deduzione infinita, in compenso la sua onniscienza gli consente di “vedere” le cose. In questo modo il filosofo si allontana dal determinismo aprendo lo spazio per parlare di libertà.

 

Per una discussione dettagliata del pensiero di Leibniz negli aspetti trattati si rimanda a: https://www.iep.utm.edu/leib-met/ e https://plato.stanford.edu/entries/leibniz/ 

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