Łukasiewicz e il principio di non contraddizione

 

Introduzione biografica

Jan Łukasiewicz (1878-1956) fu una figura cruciale, innanzitutto per aver introdotto la logica matematica in Polonia. Il periodo fra le due guerre mondiali si rivelò particolarmente fruttuoso per questo pensatore, il quale si impose come una delle figure principali, insieme a Tarski e Lesniewski, di quella che fu poi nota come Scuola di Varsavia. L’università di Varsavia, attorno alla quale gravitava tale circolo, era stata riaperta nel 1915 in seguita al passaggio della città dal controllo russo a quello tedesco. In precedenza, infatti, l’Università di Varsavia era stata resa inattiva, in quanto di lingua polacca.

L’influenza di Twardowski, con il quale Łukasiewicz studiò a Leopoli – motivo per il quale il circolo è noto anche come Scuola di Leopoli-Varsavia – fu essenziale. Egli infatti si era formato con Brentano, maestro anche di Husserl e Meinong, a Vienna. Da Brentano deriva la concezione della filosofia come una disciplina rigorosa, la quale deve avere il medesimo rigore delle scienze empiriche e deve essere comunicata con la stessa trasparenza. Tuttavia, tanto Twardowski quanto Brentano condividevano l’idea che una descrizione coerente della psicologia fosse essenziale alla filosofia, quando al contrario Łukasiewicz influenzato da Husserl, ma soprattutto da Frege e da Russell – legge i Principles of Mathemethics di quest’ultimo nel 1904 –, privava la psicologia di ogni ruolo fondativo.

In linea con Brentano, Łukasiewicz teneva in grande considerazione la storia della filosofia, soprattutto nei confronti di Aristotele e dell’empirismo inglese. Lo studio della sillogistica stoica e aristotelica si rivelerà essenziale per il suo sviluppo intellettuale.

 

I presupposti del discorso di Łukasiewicz

Il nostro autore è noto per essere l’iniziatore delle cosiddette logiche polivalenti – che contemplano più dei due classici valori di verità, vero e falso – da cui derivò anche il suo interesse per le logiche modali. Il possibile infatti è visto come ciò che non è ancora né vero né falso e che quindi si configura come quel tertium che sfugge al pensiero bivalente.

Suggestionato dalle geometrie non-euclidee desidera compiere una simile rivoluzione in ambito logico. All’inizio del XVIII secolo Lobachenvskij e Bolyai contestano il V postulato di Euclide: se una retta, incontrandone altre due, forma da una stessa parte degli angoli minori di due retti, le due rette, prolungate all’infinito, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti. Questo postulato spesso viene espresso, tramite una sua forma alternativa equivalente che asserisce l’unicità della retta parallela ad una data passante per un punto.

Come l’impero millenario della geometria euclidea è stato fatto vacillare attaccando il V postulato, un’azione simile deve essere ora compiuta nei confronti della logica classica, attaccando le sue fondamenta: il principio di non contraddizione.

 

Le tre formulazioni del principio di non contraddizione

La contestazione della logica classica avviene tramite un confronto serrato con i testi aristotelici. Nel testo di cui tratteremo, Del Principio di Contraddizione in Aristotele (1910), non è raro che l’autore sfrutti passi Aristotelici per smentire Aristotele stesso.

Il nostro autore ritiene lo Stagirita esprima, pur non esplicitandolo, tre versioni differenti del principio di non contraddizione: un principio ontologico, uno logico e uno psicologico. Vediamo di seguito i luoghi in cui in cui egli esporrebbe tali tre principi e le riformulazioni che ne dà Łukasiewicz.

Principio ontologico

«È impossibile che la stessa cosa, ad un tempo, appartenga e non appartenga ad una medesima cosa, secondo lo stesso rispetto» (Metaphisica Γ 3, 1005 b 19-22).

O in maniera più concisa:

«È impossibile essere e non essere ad un tempo» (Metaphisica. B 2, 996 b 30).

Riformulato nel modo seguente: nessun oggetto può possedere e non possedere uno stesso attributo nello stesso tempo.

Principio logico

«La nozione più salda di tutte sia questa: che le affermazioni contraddittorie non possano essere vere insieme» (Metaphisica. Γ 6, 1011 b 13-14).

Riformulato nel modo seguente: non possono essere veri nello stesso tempo due giudizi, dei quali uno assegna all’oggetto proprio quell’attributo che dall’altro gli viene negato.

Principio psicologico

«È impossibile per chiunque credere che una stessa cosa sia e non sia, come secondo alcuni avrebbe detto Eraclito. In effetti, non è necessario che qualcuno creda ciò che dice» (Metaphisica. Γ 3, 1005 b 23-26).

Riformulato nel modo seguente: due convinzioni, a cui corrispondono giudizi contraddittori, non possono sussistere nello stesso tempo e nella stessa mente.

 

L’equivalenza dei principi logico e ontologico e la loro relazione con il principio psicologico

Le prime due formulazioni risulterebbero equivalenti, in quanto coimiplicantisi. A sostegno porta i seguenti passi aristotelici:

«Se è vero che un oggetto è bianco oppure non è bianco, esso sarà necessariamente bianco o non-bianco» (De Interpretatione 9, 18 a 39 b 1).

«Se [un oggetto] è bianco oppure non è bianco, era vero affermarlo oppure negarlo (De Interpretatione 9, 18 b 1-2).

«Dire di ciò che è, che è, e di ciò che non è che non è, è la verità» (Metaphisica Γ 7, 1011 b 26-27).

Aristotele, secondo Łukasiewicz, cercherebbe di dimostrare il principio psicologico a partire dai due precedenti. Per fare ciò, in un primo momento dimostra che a convinzioni contrarie corrispondono giudizi contraddittori.

«Se non è possibile che i contrari sussistano insieme in un identico soggetto […] e se un’opinione che è in contraddizione con un’altra è il contrario di questa, è evidente che è impossibile, ad un tempo, che la stessa persona creda che una cosa esiste e, anche, che non esista, infatti chi si ingannasse su questo punto, avrebbe ad un tempo opinioni contrarie» (Metaphisica Γ 3, 1005 b 26-32).

Nel passo citato si parla di “contrari” e di “contraddizione”. Ma come conciliare l’opposizione contraria con quella contraddittoria? I giudizi non hanno genere, quindi non possono essere posti ai due estremi di una serie di attributi dello stesso genere e di conseguenza non possono essere fra loro contrari. La questione verrebbe allora spostata da Aristotele sul piano psicologico: ai giudizi corrispondono nella mente le convinzioni, le quali essendo attributi – della mente – possono trovarsi in opposizione contraria. Sono dunque contrarie le opinioni a cui corrispondono giudizi contraddittori fra loro.

«Se riguardo l’opinione le cose stanno proprio a questo modo, e se d’altro canto le affermazioni e le negazioni, espresse attraverso la voce, sono simboli degli oggetti che si presentano nell’anima, evidentemente all’affermazione sarà allora contraria la negazione» (De Interpretatione 14, 24 b 1-3).

Il secondo passo della derivazione aristotelica del principio psicologico dagli altri due consisterebbe nella dimostrazione che un ente non può possedere attributi contrari allo stesso tempo.

«Ogni contrarietà implica che uno dei due contrari sia privazione» (Metaphisica I 4, 1055 b 18).

Possedere un attributo significa essere privati dell’attributo contrario. Possedere un attributo e il suo contrario sfocerebbe dunque nella contraddizione.

Łukasiewicz nota come la derivazione del principio psicologico sia effettuata con cautela dallo Stagirita. La difficoltà risiederebbe nel fatto che ogni convinzione è un atto psichico positivo della mente e dunque possedere due convinzioni corrispondenti a giudizi contraddittori non sembra necessariamente sfociare in una contraddizione. Una contraddizione si avrebbe piuttosto nel caso in cui una determinata opinione esistesse in una mente e in quella stessa mente non esistesse.

La contraddizione ravvisata da Aristotele si baserebbe, per Łukasiewicz, su presupposti profondamente errati. Infatti, le convinzioni risulterebbero classificate dallo Stagirita in virtù del loro grado di verità. Vi sarebbero dunque convinzioni più vere di altre, come alcune più false di altre. Per Aristotele ad esempio «riguardo ad ogni oggetto, è più vera un’opinione che una determinazione per sé» (De Interpretatione, 14, 23 b 17). Nella verità tuttavia non si ravvisano gradi: nel caso in cui si potesse parlare di verità delle convinzioni, sarebbe vera la convinzione corrispondente ad un giudizio vero, il quale è tale se attribuisce ad un oggetto un attributo che esso possiede o se non gli attribuisce un attributo che esso non possiede. In ciò non può esservi alcuna gradualità e non essendoci gradi nella verità, non possono esservi nemmeno convinzioni contrarie. Inoltre, Aristotele sarebbe vittima di quella confusione psicologistica a cui Łukasiewicz è tanto avverso: solo giudizi possono essere veri o falsi, parlare di convinzioni vere è privo di alcun senso.

Non bisogna dunque concentrarsi sul concetto di contrarietà fra convinzioni, bensì su quello di incompatibilità che è più ampio. L’incompatibilità di due attributi – che consiste nell’impossibilità di assegnare tali attributi contemporaneamente ad oggetti della stessa classe – può essere provata a priori oppure a posteriori. Il primo caso è da escludere, infatti le convinzioni sono fenomeni, di conseguenza vanno studiati empiricamente. Resta percorribile solo la via a posteriori, tuttavia le leggi empiriche non sono mai sicure, ma solo probabili. Addirittura, è lecito dubitare che le ricerche confermeranno tale principio. Infatti, nella storia vari filosofi hanno ammesso di credere in contraddizioni, due su tutti Eraclito ed Hegel. Ad ulteriore sostegno l’autore porta un’esperienza personale: all’ascolto dell’inno di Sant’Anastasio egli si è sentito penetrato dal mistero insondabile della Trinità e afferma che chi si abbandona all’azione estetica e religiosa delle strofe non può che credere per un istante a giudizi contraddittori.

 

Il principio di identità

Łukasiewicz non risulta particolarmente persuaso dalle prove elenctiche aristoteliche, le quali, a suo parere, più che dimostrare il principio di non contraddizione, lo pongono come incontestabile senza dimostrazione alcuna. In un sol colpo si assumerebbero due principi: il quello di non contraddizione e il quello secondo il quale il principio di non contraddizione è il primo principio. Tuttavia, vi sono principi che sembrano più fondamentali di quello di non contraddizione, quale ad esempio quello di identità. Spesso esso è semplicemente considerato come una versione positiva senza valore del principio di non contraddizione, dato che Leibniz espresse quest’ultimo come “a non è non-a”, negazione del principio di identità “a è a”. Tale espressione è tuttavia una formulazione, tra l’altro imprecisa, del principio di doppia negazione, non di quello di non contraddizione. Łukasiewicz esprime i tre principi citati sotto forma di periodi ipotetici nel modo seguente:

Principio di identità: Se P ha c, allora P ha c.

Principio di doppia negazione: Se P ha c, allora P non può non avere c.

Principio di non contraddizione: Se P è un oggetto, allora P non può non nello stesso tempo avere c e non avere c.

Il principio di non contraddizione non si può porre senza giudizi di cui uno è negazione dell’altro e che formano insieme un prodotto logico (congiunzione). Senza prodotto logico abbiamo il principio di identità e principio di doppia negazione, inoltre il principio di identità non necessita nemmeno della negazione. Ciò mostrerebbe che il principio di identità non può essere sinonimo del principio di non contraddizione, come a lungo si è pensato.

 

La definizione di giudizio vero, l’autentico principio primo

Inoltre, nemmeno il principio di identità risulta essere un principio a tutti gli effetti. Esso dipende infatti dalla definizione di giudizio vero. È vero il giudizio che attribuisce a un oggetto tale attributo che esso possiede, è vero il giudizio negativo che nega a un oggetto tale attributo che esso non possiede. È possibile esprimere il principio di identità solo se in precedenza si è definita in tal modo la verità, infatti un oggetto P possiede l’attributo c solo se è vero che lo possiede e non lo possiede solo se è vero che non lo possiede.

La verità della definizione di giudizio vero non può basarsi sulla verità di un altro giudizio, ma solo sulla propria, di conseguenza la definizione di giudizio vero è l’effettivo principio primo e non il principio di non contraddizione. D’altronde anche coloro i quali ritengono che il principio di non contraddizione sia autoevidente, non lo fondano su se stesso, bensì sull’evidenza, vale a dire un fatto psichico che essi percepiscono dinnanzi al principio.

 

Una logica non-aristotelica

La pars construens del ragionamento del nostro autore si concretizza nella creazione di una logica non-aristotelica. Per verificare la possibilità di vivere senza il principio di non contraddizione, egli conduce un esperimento mentale: immaginiamo che la nostra mente sia costruita diversamente e che ogni giudizio negativo sia vero. Se il Sole brilla, “Il Sole brilla” è vero, ma è vero anche “Il Sole non brilla”, in quanto esso fa anche altro.

Immaginiamo come agirebbe un medico dinnanzi ad un caso di difterite:

  1. Il medico attesta la presenza di sintomi grazie all’esperienza.

  2. Egli sa che il suo medicamento non curerà il paziente, ma si limita ad attestare che in tutti i casi precedenti la situazione è migliorata dopo aver somministrato il farmaco. Per attestare una serie di fatti singolari, non serve il principio di non contraddizione.

  3. Egli arriva addirittura a dire che il farmaco cura sempre la difterite, pur sapendo che non la cura mai, ma si concentra solo sulle occorrenze positive. Anche per ragionare in modo induttivo sembrerebbe non essere essenziale il principio di non contraddizione.

  4. Egli sa che il farmaco curerà anche in questo caso, in quanto anche la deduzione non contempla il principio di non contraddizione. Dal principio generale ottenuto per induzione, può dunque tranquillamente dedurre il l’efficacia anche nel caso particolare che gli si presenta ora dinnanzi. Pur senza principio di non contraddizione otterremmo la stessa scienza.

Su cosa si deve allora fondare il principio di non contraddizione? L’evidenza non è sufficiente, in quanto affidarsi ad essa sarebbe un residuo di psicologismo. Non ci si può richiamare alla necessità psicologica. Infatti, abbiamo mostrato che questa non vale come principio. Inoltre, non possiamo nemmeno essere certi che il mondo esterno risponda alle nostre strutture mentali. La fondazione deve basarsi su una definizione, su un giudizio a priori, che tuttavia non può essere la definizione di giudizio falso, come potremmo sospettare dato che il principio di identità si basa sulla definizione di giudizio vero. Infatti, il principio dice più della falsità: dice che la verità e la falsità non possono coesistere, che si annientano a vicenda. Se tuttavia vi fossero oggetti che fanno coesistere verità e falsità, il principio non sarebbe universale. Bisogna dunque analizzare gli oggetti contraddittori. Affinché il principio valga, gli oggetti contraddittori non devono essere oggetti. Per soddisfare tale requisito la definizione di oggetto non può che essere la seguente: per oggetto bisogna intendere qualcosa che non può possedere e non possedere nello stesso tempo il medesimo attributo. La definizione è povera e formale, ma è l’unica alla quale è possibile appoggiarsi. L’oggetto può essere dunque inteso come due cose distinte: l’oggetto di tipo 1, ciò che è qualcosa e non niente, e l’oggetto di tipo 2, ciò che non è contraddittorio. Il punto cruciale è capire se la prima definizione di oggetto corrisponde alla seconda: cioè se le persone, le cose, gli eventi siano privi di contraddizione.

 

La teoria meinonghiana degli oggetti

Per verificare tale corrispondenza l’autore si appoggia alla teoria degli oggetti di Meinong. Egli distingue fra 1. oggetti completi, ai quali si può assegnare un attributo in un giudizio e dire se tale giudizio è vero o falso, e 2. oggetti incompleti. Essi a loro volto si distinguono, in 2.1. oggetti costruttivi e 2.2. oggetti ricostruttivi.

  1. Gli oggetti concreti sono oggetti determinati come “questa colonna” o la “colonna di piazza Vendôme”.

  2. Gli oggetti incompleti sono astratti, come “la colonna”, o “la colonna in generale”. 2.1. Gli oggetti costruttivi non servono a conoscere gli oggetti concreti: si tratta degli oggetti della logica e della matematica. 2.2. Gli oggetti ricostruttivi diventano concreti in virtù di un completamento e servono a conoscere gli oggetti concreti. 2.1. Gli oggetti costruttivi sono oggetti del tipo 1, sono qualcosa e non sono niente. Essendo creazione della mente umana, dipende da noi se si tratta di oggetti del tipo 2 o meno. Tuttavia, la situazione è più complessa di come appare. Prendiamo degli esempi particolarmente importanti nella storia della matematica: il massimo numero primo e il quadrato costruito con rigo e compasso di superficie pari a quella del cerchio di raggio 1 – il celebre problema della quadratura del cerchio –. Per lungo tempo non si seppe che si trattava di concetti contraddittori. Come facciamo a sapere se altri concetti che utilizziamo celino o meno un qualche tipo di contraddizione? Prendiamo ulteriori esempi, in primo luogo la corrispondenza fra i numeri naturali e i numeri pari e in secondo luogo il paradosso di Russell. Creare corrispondenza biunivoca fra i numeri naturali e i numeri pari, fa sembrare che la parte – i numeri pari – sia equinumerosa rispetto al tutto – i numeri naturali –. Questo problema già discusso da Leibniz e poi da Bolzano, è stato risolto da Cantor tramite la teoria dei numeri transfiniti. Ma come facciamo a sapere che anche in questo concetto non si celi un’ulteriore contraddizione? Che essa non si sia solo spostata più in là? Lo stesso problema si ripete nel ragionamento intorno al paradosso i Russell: la classe delle classi che non appartengono a se stesse risulta appartenere a se stessa solo nel caso in cui non appartiene a se stessa: {RR↔RR}. Russell ha risolto tale problema grazie alla teoria dei tipi, ma ancora una volta la contraddizione può celarsi dietro l’angolo (Gödel infatti, qualche decennio più tardi, porterà alle sue estreme conseguenze questo ragionamento). 2.2. Gli oggetti ricostruttivi per essere studiati richiedono un contatto con la realtà, essendo essi utili per conoscere gli oggetti concreti. Rivolgendoci alla realtà pensiamo all’esempio del movimento: esso per alcuni, come Zenone (in particolare nella rilettura che ne fa da Protagora) e Hegel, contiene contraddizione. Łukasiewicz ci chiede di immaginare una situazione come quella raccontata nei Canti del Re Spirito, in cui la corte del re Popiel viene fermata in un determinato istante temporale. La freccia zenoniana, una volta immobilizzata, non cadrebbe più nelle possibili contraddizioni celate nel movimento. Tuttavia, come possiamo sapere che la freccia sia in un solo posto? Questo lo si può affermare, solo presupponendo il principio di non contraddizione. In ogni oggetto riconosciamo la non contraddittorietà in quanto esso è presupposto da ogni accostamento al reale: non possiamo dunque pretendere di provare il principio a posteriori.

 

Il valore pratico del principio di non contraddizione

La soluzione di Łukasiewicz consiste nell’affermare che il principio di non contraddizione non richiede dimostrazione, la quale avrebbe dimostrato essere impossibile. Non possiamo dimostrare che lo spazio sia euclideo, eppure ragioniamo come se lo fosse. Allo stesso modo dobbiamo comportarci con il principio di non contraddizione, senza pretendere di imporre le nostre leggi a priori al mondo. Il valore del principio si rivela pratico-etico ed esso è talmente importante che possiamo prescindere dal suo valore logico. Un parallelismo è fattibile con la memoria: i giudizi si basano su di essa, tuttavia non vi è alcuna giustificazione logica per affidarsi alla memoria. Proviamo a valutare quali sarebbero gli effetti di un mondo privo di principio di non contraddizione, dal punto di vista pratico. In caso qualcuno mi dica di avermi visto per strada, non posso smentirlo, pur essendo io sicuro di essere stato a casa. Può sembrare un’osservazione di poco conto, ma poniamo di trovarci in tribunale accusati di omicidio: non avremmo alcun modo per difenderci dalle accuse.

Aristotele ha lottato per un principio pratico, un bene vitale, come se si fosse trattato di un principio teorico. Egli visse nell’epoca della dissoluzione massima dell’antica Grecia in cui la corruzione era diffusa su larga scala in seguito all’avvento di Filippo il Macedone e in cui la dissoluzione intellettuale era incarnata dall’azione dei sofisti. In un contesto così delicato era necessario difendere il principio di non contraddizione alla stregua di un dogma.

Il valore profondamente filosofico del discorso del nostro autore si fa evidente in occasione del discorso che fece in occasione del suo abbandono momentaneo della vita accademica, in virtù della sua nomina a Ministro dell’Educazione: «Ho dichiarato una guerra spirituale contro ogni coercizione che limita l’attività libera dell’uomo». La logica della coercizione per lui è quella aristotelica. Senza un terzo valore che esprima la possibilità, che esuli dal vero e dal falso, la nostra libertà d’azione verrebbe minata alle sue fondamenta. Sarà dunque questa missione personale contro ogni forma di violenza e dominazione a tracciare il percorso di Łukasiewicz verso la fondazione per le logiche polivalenti e a determinare il suo interesse per le logiche modali. In età più avanzata non mutarono i suoi intenti, tuttavia riconobbe che la logica aristotelica non porta con sé alcuna minaccia alla libertà individuale, rinominando piuttosto la propria logica “non-crisippea”.

 

Niccolò Rossi

 

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