Il quarto e ultimo incontro organizzato dal gruppo Logos, dal titolo Zero e Infinito matematico, è stato tenuto dal professor Carlo Penco dell’Università di Genova.

 

Lo zero in origine

La prima parte dell’incontro è stata dedicata ad una ricognizione storica del numero zero e dei percorsi – dal matematico indiano Brahmagupta (598-668 d.C.) attraverso la cultura araba fino a Fibonacci – che lo hanno portato a diventare un’entità matematica riconosciuta a pieno titolo in occidente solo nel basso medioevo.

Nel XVII secolo con lo sviluppo per opera di John Wallis della nozione di infinitesimo, viene inventato il celebre simbolo che da allora rappresenta la nozione matematica di infinito: ∞. Per Wallis come già per il matematico indiano Bashkara (1114-1185 d.C.) valgono le seguenti equazioni 1/0= ∞, 1/∞=0. I In questo modo però 0 e ∞, due concetti matematici sfuggenti, sono necessari per definire l’altro.

 

Zero e infinito per Frege

Fast-forward all’epoca contemporanea: il professor Penco si è soffermato sulle implicazioni della rivoluzione fregeana rispetto alla definizione di zero e di infinito. Prima però dobbiamo fermarci un attimo sulla concezione di Frege. Frege pone la distinzione tra nomi e predicati, i nomi si riferiscono ad un unico ente mentre i predicati ad un gruppo di enti o ad un gruppo di predicati. Si pensi ad una mela rossa, la mela è il nome, che ricade nel gruppo di enti di cui si predica l’esser rosso, e a sua volta l’esser rosso è membro di un gruppo di predicati (l’essere colore).

L’esempio portato dal professor Penco è questo, si noti la differenza tra queste due proposizioni:

  1. I cavalli della regina sono neri
  2. I cavalli della regina sono quattro

Nel primo caso A il predicato esser-nero si applica ad ogni cavallo, ‘cavallo’ in questo caso è un nome; Nel secondo caso B l’esser-quattro non si applica ad ogni cavallo ma solo al concetto ‘cavalli della regina’ nella sua interezza. Ne consegue che i numeri sono predicati di ordine superiore al primo, ossia sono predicati di predicati, concetti di concetti.

Ma quando due numeri sono uguali? Per rispondere a questo quesito viene in soccorso il principio di Hume che afferma che:

NxF(x) = NxG(x) ↔ F ≈ G,

che tradotto significa che il numero degli enti x, che hanno la proprietà F, è uguale al numero degli enti x, che hanno la proprietà G se e solo se tra F e G c’è una corrispondenza biunivoca. Di conseguenza il numero (N) che si attribuisce ad un concetto (F) viene definito come l’estensione del concetto ‘equinumeroso ad F’.

Sulla base del principio di Hume, Frege usa la negazione del principio di identità per definire lo zero. Infatti lo zero si predica di insiemi vuoti e l’insieme dell’entità diverse da sè stesse è appunto vuoto.

Una volta definito lo zero possiamo usarlo come punto di partenza per definire ogni altro numero, infatti 1 è il successore di zero, 2 è il successore del successore di 0, e così all’infinito. Per Frege ciò presupponeva  un assioma, il quinto assioma:

{x: Fx} = {x: Gx} ↔ ∀x (Fx ↔ Gx)

Esso ci dice che l’estensione di un concetto F è uguale all’estensione di un altro concetto G, se e solo se per ogni x, se x è un F allora x è un G e viceversa.

L’assioma V implica a sua volta il principio di comprensione:

∀x [x ∈ {x: F(x)} ↔ F(x)]

questo ci dice che per ogni x, x appartiene all’estensione del concetto F se e solo se x cade in F. Come a dire che il cavallo Furia appartiene all’estensione del concetto ‘cavallo’ se cade sotto il concetto di ‘cavallo’, e viceversa. Ciò equivale a dire che dato un qualsiasi concetto è possibile senza alcuna restrizione passare alla sua estensione.

 

Il paradosso di Russell

Un giovane e brillante matematico inglese, Bertrand Russell si chiese cosa succede quando consideriamo come concetto o proprietà di  ‘non appartenere a sé stesso’. Ci sono infatti concetti che ricadono nell’estensione di sè stessi, ad esempio l’insieme degli insiemi contiene anche sé stesso (in quanto appunto insieme). Ma cosa succede nel caso della proprietà di ‘non appartenere a sé stesso’?

Russell si accorse subito che portava ad un’antinomia: infatti se l’insieme degli insiemi che non contengono sé stessi non contiene se stesso, allora dovrebbe ricadere nell’insieme degli insiemi che non contengono sè stessi, ma quindi conterrebbe sè stesso. Viceversa se l’insieme degli insiemi che non contengono sé stessi contiene sè stesso allora esso contiene sé stesso e quindi non dovrebbe appartenere all’estensione del concetto ‘non contiene sè stesso’. In poche parole abbiamo che per tale proprietà l’insieme appartiene a sé stesso se e solo se l’insieme non appartiene a sé stesso: un bel grattacapo.

E così dovette riceverlo Frege che vedeva la sua proposta di assiomatizzazione dell’aritmetica messa in crisi dall’antinomia russelliana. Questo fu il suo commento (Grg II, p. 253):

«A uno scrittore di scienza ben poco può giungere più sgradito del fatto che, completato un lavoro, venga scosso uno dei fondamenti della sua costruzione. Sono stato messo in questa situazione da una lettera del Signor Russell, quando la stampa di questo volume stava per essere finita. Si tratta del mio principio (V)»

La più celebre delle soluzione proposte al problema viene solitamente chiamata predicativismo. Il nucleo del predicativismo norma l’impossibilità di predicazioni riflessive, ossia ogni predicato può (scusate il pastiche) predicarsi solo di entità di ordine inferiore. In questo modo si evita l’autoriferimento che dà luogo all’antinomia. L’approccio impredicativo è proprio di un modo di pensare la matematica, l’interpretazione costruttivista.

La soluzione impredicativa però se risolve i problemi di Frege, mette in dubbio un risultato straordinario di pochi decenni prima: la dimostrazione di Cantor del numero transfinito.

Ma per capire meglio la questione, facciamo un passo indietro di vent’anni circa.

 

Insiemi infiniti e l’argomento diagonale di Cantor

Nell’opera del 1888 di Richard Dedekind intitolata Was Sind und Was Sollen die Zahlen? (ovvero cosa sono e cosa significano i numeri?) si trova una definizione rigorosa dell’infinito: si parla di insieme infinito quando un insieme ha una relazione biunivoca con l’insieme dei numeri naturali, ossia quando è possibile associare ad ogni elemento dell’insieme un numero diverso.

Tale definizione di infinito per quanto ovvia, in un primo momento, crea già delle sorprese: da questo concetto si ottengono diversi paradossi: per esempio il noto paradosso di Galileo, secondo il quale l’insieme dei numeri quadrati è tanto numeroso quanto quello dei numeri naturali, che intuitivamente  dovrebbe essere numeroso il doppio (contenendo anche i numeri dispari). Infatti i numeri pari stanno in relazione biunivoca con i numeri naturali, basta associare ad ogni numero naturale il suo doppio.

In questo contesto Cantor, amico personale di Dedekind, si chiese se l’infinito che abbiamo trattato, chiamato infinito numerabile, fosse l’unico tipo di infinito. Le sue ricerche lo portarono a rispondere negativamente a questa domanda: l’infinito numerabile non è l’unico tipo di infinito.

Se i numeri razionali sono infiniti e numerabili, non così per i numeri reali. I numerali razionali sono ‘troppi’ per poter stare in relazione biunivoca con i numeri naturali, Cantor aveva così scoperto un infinito più ‘grande’ dell’infinito numerabile.

Parlando di aritmetica, ovviamente Cantor fornì una dimostrazione per la sua scoperta. La dimostrazione prende solitamente il nome di argomento diagonale, di cui abbiamo già parlato. L’argomento fornisce una dimostrazione che può essere anche visualizzata:

L’immagine mostra che per qualsiasi tentativo di porre i numeri razionali in relazione biunivoca con i numeri naturali è possibile trovare un controesempio.

 

Costruttivismo e insiemi transfiniti

Secondo i costruttivisti, tra cui Wittgenstein e Hao Wang, la dimostrazione di Cantor è spuria: ci sono premesse presupposte, di conseguenza la dimostrazione pretende di dimostrare di più di quanto non faccia.

L’argomentazione di Cantor si svolge così:

  1. i numeri reali non possono essere messi in una successione”
  2. “l’insieme dei numeri reali non è un infinito numerabile”
  3. “l’insieme dei numeri reali è transfinito”

Il problema della dimostrazione è che sembra descrivere uno stato di cose, nessuno però ci garantisce che le regole e le strutture matematiche siano uno stato di cose che l’uomo, il matematico si limita a descrivere.

Per un costruttivista la dimostrazione diagonale ci dice solo che il concetto di numero reale si comporta in modo diverso se confrontato a quello di numero naturale rispetto a quanto pensavamo. Tutto qua.

Secondo Brouwer, padre del costruttivismo matematico, quando si fa matematica non si ha a che fare un con un mondo da descrivere, un insieme di fatti afferrabile con la mente, ma con delle regole da imparare, applicare e da cui dedurre nuove dimostrazioni, che ci diranno di impliciti che noi, in quanto esseri cognitivamente finiti, sveliamo progressivamente a partire da assiomi assunti.

Ma se la prospettiva costruttivista è la migliore, che significato hanno allora i problemi che di dimostrano indecidibili, come l’ipotesi del continuo, per cui non esiste un insieme di cardinalità (dimensione) strettamente compresa tra la cardinalità di un insieme infinito e la cardinalità di un insieme transfinito?

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